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Pour le calcul
des schémas électriques par des méthodes numériques on utilise
classiquement les équations de la branche électrique généralisée, qui
est représentée sur la fig.1 (également connue sous d'autres noms:
branche de Kirchhoff, branche primitive, élémentaire, etc.). 
Figure 1: Le schéma et l'équation de la branche généralisée
On peut présenter la branche généralisée sous deux formes
équivalentes amenées ci-dessous:
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E=
z·(i+Ieq),
où Ieq = (I
- e/z)
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E+eeq
= z·i,
où eeq=
e –
z ·
I |
Excepté la branche généralisée, on applique de soi-disantes
branches primitives. Pour l'analyse des schémas selon la méthode des
tensions nodales à titre de la branche primitive on utilise la branche
nodale, pour l'analyse des schémas selon la méthode des courants mailles
on utilise la branche maille :
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branche primitive de nodale
I =
Y·E |
branche primitive de maille
e =
z ·
i |
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Sur cette branche
généralisée (fig.1) on construit des modèles électriques comme termes
algébriques des équations différentielles ordinaires et des équations
différentielles aux dérivées partielles. Par exemple, pour l'équation
différentielle ordinaire décrivant un condensateur
i = C dE/dt.
Suivant un développement d’Euler au 1er ordre associée au pas
Δt on a :
Pour la construction de l'équation de la branche
généralisée on obtient
: z=Δt/C, E
= En+1 , e = - En, I
= 0
La
même branche sous la forme nodale:
z=Δt/C, E
= En+1 , e=0, Ieq
= In+1= C/Δt ·
En
********************
Si le lien entre le courant et la tension est présenté par l'équation
intégrale :
alors le schéma différentiel du remplacement de la capacité pour la
méthode des trapèzes sous la forme
de la branche généralisée (fig.1)
correspond: z=Δt/(2C),
e = - En , E = En+1
, I = In
********************
Dans les cas plus complexes, par exemple pour une capacité non linéaire,
on peut appliquer une méthode implicite du 2ème ordre ou une
méthode itérative. Dans l’expression des composants de la branche
généralisée (fig.1) les formules seront plus complexes:
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La branche
généralisée peut être utilisée pour la construction des schémas
électriques en remplacement des équations différentielles dans les
dérivées partielles. Par exemple, pour une équation donnée :
Après application d’une méthode des différences finales
on obtient l'équation algébrique:
où
B-=B(x-h,t); B=B(x,t); B+=B(x+h,t);
ΔB=B(x,t+Δt) - B(x,t).
Partant de cette équation, on peut
construire le schéma électrique équivalent
Figure 2:
schéma électrique équivalent pour l'approximation algébrique de
l'équation
aux
dérivées partielles
Il est possible
d’appliquer ces méthodes aux éléments finaux en même temps qu’à des
éléments de frontière. En outre, la branche élémentaire est la branche
sous-jacente à la structure topologique pour la formation automatique
des équations des schémas électriques. Les branches généralisées
connectées forment finalement la structure topologique du système
complexe.
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