Nous amènerons les positions principales de la décomposition nodale et le calcul par parties.

La composition des sous-schémas est définie "à la main". L'information sur les sous-schémas consiste en l'information sur les branches et les matrices de changement de bases.

Le calcul du grand schéma commence par le calcul des sous-schémas. Les sous-schémas séparés calculent indépendamment une de l'autre:

On introduit les résistances des liens joignant les sous-schémas dans les noeuds:

On résout alors le calcul du schéma total dans l'espace des mailles, et pour terminer on prend en considération l'influence mutuelle des sousschémas:

Les schémas équivalents les suivants:

Au calcul des sous-schémas indépendants on accomplit le calcul des schémas radiaux équivalents pour les sous-schémas et tensions sur les noeuds de frontière:

Les résistances des liens forment le réseau dit des intersections :

Après une dernière étape de liaison des branches appartenant du réseau des intersections, on forme le schéma total, sa dimension étant moins grande que la dimension du schéma complet:

Nous examinerons plus en détail les étapes du calcul

Nous allons examiner l’exemple présenté fig. 1.

Figure 1:   exemple de la liaison de trois sous-schémas

Le calcul du grand schéma commence par le calcul des sous-schémas. Puisque les phénomènes  électromagnétiques sont décrits dans l'espace des mailles, le calcul est accompli dans cet espace. L'espace des branches généralisées est donné par le vecteur du courant dans les branches, l'espace du schéma élaboré est donné par le vecteur des courants des mailles. Ce vecteur s’obtient par transformation via la matrice de changement de base (connectivité) de l’espace des branches vers l’espace des mailles. Les coordonnées nodales classiques sont présentées comme des mailles ouvertes. Les coordonnées nodales sont nécessaires à l'algorithme de formation automatique des équations du schéma à partir des sous-schémas :

 De cette équation, on obtient l'expression des tensions nodales E_o:

                                        E_o = z^~_oo I^o  − e^~_o  , où  e^~_o =  e_o − z_om (z_mm)^-1 e_m ,      (1)

                                          z^~_oo = z_oo – z_om (z_mm)^-1 z_mo                                             (2)

 Après application des équations (1) et (2) aux sous-schémas, on en déduit les schémas équivalents radiaux de ces sous-schémas (par exemple, comme sur la fig. 2).

Figure 2: exemple du schéma équivalent radial du sous-schéma.

   Nous reviendrons vers les fig 1. Les sous-schémas, qui sont amenés sur le fig. 1 sont présentés comme les sous-schémas radiaux. On peut diviser en trois groupes les liens qui forment le réseau des intersections. Au premier groupe se rapportent les branches s1, s2 et s3, au deuxième groupe se rapportent la branche s4, au troisième groupe se rapportent les branches s5 et s6. On en déduit la matrice d’incidence décrivant le réseau d’intersections :

  La matrice des impédances du réseau d’intersections z_ss est calculée par la transformation standard de la matrice des impédances de noeuds de frontières z_ss =C_sō ∙ z^~_ōō ∙ C_ōs En analysant le contenu de la matrice z_ss, on voit que cette matrice reflète le schéma présenté  fig. 3. Nous pouvons alors calculer la source de tension pour chaque branche de  réseau élémentaire des intersections. Cette source se forme aussi par une transformation classique : e_s = − C_sō ∙ E_ō.

Sur la fig.3  ces branches totales sont s3, s4 et s5. Les autres branches : s1, s2, s6  - sont des branches dites complémentaires.

Figure 3 : réseau des interconnexions. On met en relief les branches totales.

 Entre chaque couple de sous-schémas voisins se forme un réseau d’échange ou « réseau de circulation ». Les branches totales forment l'arbre couvrant, les autres branches forment les mailles du réseau de circulation. La matrice  décrivant le réseau de circulation est :

     Maintenant,  nous utiliserons uniquement les branches totales et nous laisserons toutes les autres branches. Nous voyons que les branches totales s3, s4 et s5 forment un certain schéma indépendant, vers lequel les contours et  les « paires de nœuds » entrent (Fig.4).

Figure 4: Le réseau total

     Le schéma total reflète la structure de la liaison des sous-schémas. Cette structure est beaucoup plus simple que celle du schéma complet. On peut trouver dans le réseau total de la fig.3 de nouveau deux branches d’un arbre couvrant et une branche complémentaire. Par exemple, on retient les branches de l'arbre s4 et s5, s3 devenant la branche complémentaire. Le schéma n’étant plus réductible, on peut définitivement énumérer toutes les branches des compléments : s1, s2, s6, s3 et les branches de l'arbre couvrant total : s4 et s5. La matrice orthogonale reflétant les liaisons des branches du réseau d’intersections  au schéma total s’en déduit :

      Pour le calcul par la méthode des courants de mailles, on peut mettre en relief dans la matrice C_ap la sous-matrice des contours fermés C_apm. Elle est faite des colonnes des branches des compléments s1, s2, s6, s3:

    D’où l’on déduit :

                                                C_ōpm= C_ōs∙C_sa∙C_apm                                       (3)

     La matrice des impédances des mailles du schéma complet s’écrit de fait :

                                                z_pmpm = С_pmō ∙ z_ōō ∙ C_ōpm.                               (4)

et le vecteur des forces électromotrices des mailles:

                                                  e_pm= -C_pmō ∙ E_ō.                                           (5)

     On calcule la matrice inverse :

                                                  y_pmpm = (z_pmpm)^-1                                                    (6)

     Le vecteur des courants des mailles se trouve suivant la relation :

                                                  i_pm= y_pmpm ∙ e_pm.                                           (7)

     Le calcul des courants i_pm peut être accompli par la méthode du Gauss, en utilisant l'équation:

                                                   e_pm= z_pmpm ∙ i_pm.                                          (7)'

     Dans ce cas le calcul de la matrice inverse ne se pose pas. Les courants dans les liens sont calculés à partir des courants de mailles précédemment trouvés:

                                                            i_s = C_spm ∙ i_pm.                                       (8)

    Les courants des branches du lien, qui vont aux sous-schémas, se manifestent comme les courants supplémentaires dans les noeuds de frontière des sous-schémas. Ceci est la conséquence de la relation:

                                                                 ΔI_ō = C_ōs ∙ i_s.                                     (9)

                                                   ΔE_o= z_oō ∙ ΔI_ō.                                  (10)

     Les courants supplémentaires s’en déduisent également dans les mailles des sous-schémas:

                                                 Δi_m = -(z_mm)^-1  ∙ z_mō  ∙ ΔI_ō                     (11)

     Les tensions aux noeuds et les courants de mailles des sous-schémas s’expriment alors par :

                                                                  Ĕ_o = E_o + ΔE_o.                                  (12)

                                                                 ĩ_m  =i _m  +  Δi_m                                   (13)

     De ces expressions, on obtient les tensions et courants définitifs  des branches des sous-schémas:

                                                                 E_b= А_bo ∙ Ĕ_o,                                              (14)

                                                                 i_b =  C_bō · ΔI_ō  +  C_bm ∙( I_m+ĩ_m).              (15)

     Cette dernière relation conclue le calcul du grand schéma par la méthode diakoptique.

    Les résultats obtenus peuvent être appliqués pour l'étude des réseaux avec des structures variables pour la liaison des sous-schémas. Les branches du lien (par exemple, s1-s6 sur le fig. 1) se présentent comme des clés idéales qui rompent le réseau en circuit-ouvert dans l'état non-conducteur et deviennent en court-circuit dans l'état passant. La structure du réseau totale (par exemple, sur la fig.4) reste invariable, mais l'algorithme doit prévoir le choix automatique des nouvelles branches totales dans le réseau de circulation.

ō - Les coordonnées des noeuds de frontière,

s - Les coordonnées des réseau intersections,

a - Les coordonnées des réseau  circulation 

рm - Les coordonnées des mailles de réseau total.